Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát một số dãy số thực, có thể tiến "rất gần" một số nào đó. Chẳng hạn, xét dãy số thực:

2 , 3 2 , 4 3 , … , n + 1 n , … {\displaystyle 2,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},\dots ,{\frac {n+1}{n}},\dots } hay 2 , 1 + 1 2 , 1 + 1 3 , … , 1 + 1 n , … {\displaystyle 2,1+{\frac {1}{2}},1+{\frac {1}{3}},\dots ,1+{\frac {1}{n}},\dots }

Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ n của dãy 1 + 1 n {\displaystyle 1+{\frac {1}{n}}} có thể tiến gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý. Người ta diễn đạt điều đó bằng định nghĩa sau

Đinh nghĩa

Cho dãy số thực (xn) và một số thực x. Khi đó nếu:

∀ ϵ > 0 , ∃ n 0 ∈ N {\displaystyle \forall \;\epsilon \;>\;0,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N} \,} , ∀ n > n 0 {\displaystyle \forall \;n>\;n_{0}} , | x n − x | < ϵ {\displaystyle |x_{n}-x|<\;\epsilon \;} .

thì x được gọi là giới hạn của dãy (xn). Khi đó ta cũng nói dãy (xn) hội tụ.

Giới hạn của dãy thường được ký hiệu:

lim n → ∞ x n = x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}

.

Hoặc

lim x n = x ( k h i n → ∞ ) {\displaystyle \lim x_{n}=x\;(khi\;n\rightarrow \infty )}

Các định lý cơ bản

1. Nếu dãy ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn.
2. Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.
3. Nếu lim n → ∞ x n = a , lim n → ∞ y n = b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\lim _{n\to \infty }y_{n}=b} và x n ≤ y n , ∀ n ∈ N {\displaystyle x_{n}\leq y_{n},\forall n\in \mathbb {N} } thì a ≤ b {\displaystyle a\leq b} .
4. Nếu lim n → ∞ x n = lim n → ∞ y n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }y_{n}=a} và x n ≤ z n ≤ y n , ∀ n ∈ N {\displaystyle x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n},\forall n\in \mathbb {N} } thì lim n → ∞ z n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=a} .
5. Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới).

Tính chất

Nếu các dãy (xn) và (yn) hội tụ và

lim n → ∞ x n = L 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L_{1}} and lim n → ∞ y n = L 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=L_{2}}

thì

lim n → ∞ ( x n + y n ) = L 1 + L 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=L_{1}+L_{2}} lim n → ∞ ( x n y n ) = L 1 L 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=L_{1}L_{2}}

và (nếu L2 khác 0)

lim n → ∞ ( x n / y n ) = L 1 / L 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}/y_{n})=L_{1}/L_{2}}

Một số giới hạn cơ bản

lim n → ∞ 1 n p = 0  nếu  p > 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{ nếu }}p>0} lim n → ∞ a n = 0  nếu  | a | < 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{ nếu }}|a|<1} lim n → ∞ n 1 n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1} lim n → ∞ a 1 n = 1  nếu  a > 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ nếu }}a>0}